Wykład dla II stopnia w semestrze zimowym 25/26

W semestrze zimowym 25/26 będzie dostępny dla studentów II stopnia opisany poniżej wykład. W razie pytań o treści proszę kontaktować się z Panem Maciejem Dołęgą (mdolega@impan.pl). Na wykład będzie można się zapisać bezpośrednio w sekretariacie dydaktycznym IM.

Title: Combinatorics of symmetric functions
Coordinator: Maciej Dołęga (IM PAN) mdolega@impan.pl
Programme: mathematics
Number of hours and form of classes: 30 h lectures + 30h exercises
Scheduled date of classes: winter semester 2025/2026
Form of crediting the course:. Passing grade (ZAL) or exam
Prerequisites: Introduction to algebra
MSc/BSc students: yes;
Course topics (in short):
The thematic scope of the course covers the following subjects:
1. Representation theory of finite groups
2. Representation theory of symmetric groups
3. Monomial/elementary/homogenous/power-sum symmetric functions
4. Hall scalar product and Schur symmetric functions
5. Younga tableaux and RS correspondence
6. Pieri rule
7. Cauchy formula
8. Murnaghan-Nakayama rule
9. Jacobi-Trudi formula
10. Jeu-de-Taquin and Littlewood-Richardson rule
11. Deformation theory (Jack and Hall-Littlewood symmetric functions)

Literature:
1. "Enumerative Combinatorics 2", Richard Stanley;
2. "Young Tableaux", William Fulton;
3. "The symmetric groups", Bruce Sagan;
4. "Symmetric functions and Hall polynomials", Ian Macdonald

Szczegółowy opis przedmiotu:

Wielomiany symetryczne to wielomiany, które mają następującą własność symetrii: jeśli zamienimy dowolnie wybrane zmienne miejscami, to wielomian nie ulegnie zmianie. Na początku XX wieku matematycy zauważyli, że takie wielomiany są niezwykle użyteczne do opisu różnych własności symetrii występujących w teorii grup i geometrii. Szybko okazało się, że ich zastosowanie jest niezwykle szerokie: funkcje symetryczne naturalnie pojawiają się w wielu współczesnych dziedzinach matematyki i stanowią ważną rolę między innymi w badaniach medalistów Fieldsa jak Mirzakhani, Okounkov, czy Tao. Interdyscyplinarność funkcji symetrycznych jest miedzy innymi bezpośrednią konsekwencją pięknej i bogatej kombinatoryki opisującej ich strukturę.
Proponowany wykład poświęcony jest teorii funkcji symetrycznch właśnie z kombinatorycznego punktu widzenia. Pierwsza część kursu poświęcona będzie wprowadzeniu podstaw teorii funkcji symetrycznych: podstawowych baz (jednomianowych, potęgowych, elementarnych, zupełnych i funkcji Schura) i zależności między nimi oraz podstawowych obiektów kombinatorycznych takich jak diagramy i tableaux Younga i algorytm RSK. Zrozumiemy również jak kombinatoryka opisuje mnożenie różnych ciekawych funkcji symetrycznych (ciekawostka: kombinatoryczna reguła Littlewooda--Richardsona opisująca mnożenie funkcji Schura umożliwiła lot człowieka na księżyc; sęk w tym że w czasie gdy ten lot się odbył dowód reguły Littlewooda--Richardsona nie był jeszcze znany...).
W drugiej części przejdziemy do pewnych deformacji i wariacji wcześniej wprowadzonych funkcji i obiektów, oraz opiszemy ich związki z teorią reprezentacji, geometrią i pewnymi dyskretnymi strukturami losowymi. Jeśli czas pozwoli, opiszemy również najnowszą problematykę badawczą w tym nurcie.
Wykład będzie elementarny i wymagana jest jedynie podstawowa wiedza z algebry liniowej i wstępu do algebry.